Virkningsprinsippet og Lagranges ligninger

Frihetsgrader og føringer

En pendel i planet beskrives av to koordinater $x$ og $y$, men snora holder kula på avstanden $l$ fra opphenget, så $x^2 + y^2 = l^2$. Bare én størrelse kan velges fritt. En betingelse på koordinatene av formen $f(\vec r_1, \dots, \vec r_N, t) = 0$ kalles en holonom føring, og hver slik føring fjerner én koordinat: $N$ partikler med $k$ føringer har $n = 3N - k$ frihetsgrader.

De gjenværende frihetene beskrives av generaliserte koordinater $q_1, \dots, q_n$, uavhengige størrelser som fastlegger hele konfigurasjonen med føringene bygget inn. For pendelen er $q = \theta$, vinkelen fra loddlinja. Rommet med $q$-ene som akser kalles konfigurasjonsrommet, og hele systemets bevegelse er én kurve der.

Slipper du pendelen fri i alle retninger, er det tre koordinater og fortsatt én føring, $x^2 + y^2 + z^2 = l^2$, så to frihetsgrader. Vinkelen $\theta$ fra loddlinja og vinkelen $\phi$ rundt den er generaliserte koordinater for denne sfæriske pendelen.

Ikke alle føringer har formen $f = 0$. En partikkel som ligger oppå en fast kule med radius $R$, oppfyller bare ulikheten $x^2 + y^2 + z^2 \ge R^2$. Den følger overflaten et stykke nedover og forlater den så. En mynt som ruller uten å gli på et bord, har en føring på hastigheten, $v = R\dot\psi$ der $\psi$ er dreievinkelen, men ingen på posisjonen. Mynten kan rulle en omvei og komme tilbake til samme punkt med en annen dreievinkel, så betingelsen lar seg ikke integrere til en ligning mellom koordinatene. Begge er ikke-holonome føringer. De fjerner ingen koordinat, og alt som følger forutsetter holonome føringer.

Føringen kan avhenge av tida, slik $t$ i $f(\vec r_1, \dots, \vec r_N, t) = 0$ tillater. En perle på en rett stang som roterer i horisontalplanet med gitt vinkelfart $\omega$, har posisjonen $x = r\cos\omega t$, $y = r\sin\omega t$ med avstanden $r$ langs stanga som eneste generaliserte koordinat, og tida kommer inn i $L$ eksplisitt. Tidsavhengige føringer kalles rheonome, tidsuavhengige skleronome. Metoden er den samme for begge.

Newton håndterer føringer med krefter. Skal pendelen regnes med $\vec F = m\vec a$, må snordraget inn som ukjent, og komponentligningene løses både for bevegelsen og for draget. Resultatet er $\ddot\theta = -(g/l)\sin\theta$, og på kjøpet snordraget $ml\dot\theta^2 + mg\cos\theta$, en føringskraft du ofte ikke spør etter. Lagrangeformalismen slipper å regne den ut.

Virkningen og Hamiltons prinsipp

Utgangspunktet er en ny funksjon av koordinater og hastigheter:

Se på alle glatte baner $q(t)$ som starter i en gitt konfigurasjon ved $t_1$ og ender i en annen ved $t_2$. Hver bane får et tall, virkningen:

Kravet plukker ut én bane. Legg et lite avvik $\eta(t)$ på en bane $q(t)$, med $\eta(t_1) = \eta(t_2) = 0$ fordi endepunktene ligger fast. Til første orden i $\eta$ endres virkningen med

Delvis integrasjon flytter tidsderivasjonen fra $\eta$ over på $\partial L/\partial \dot q$, og randleddet er null fordi $\eta$ er null i endepunktene:

Skal dette være null for ethvert avvik $\eta$, må parentesen være null langs hele banen.

For én partikkel i kartesiske koordinater er $L = \tfrac12 m\dot{\vec r}^2 - V(\vec r)$. Da er $\partial L/\partial \dot x = m\dot x$ og $\partial L/\partial x = -\partial V/\partial x$, så ligningene sier $m\ddot{\vec r} = -\nabla V$. Hamiltons prinsipp er Newtons andre lov i ny form.

Navnet «prinsippet om minste virkning» henger igjen, men kravet er bare at $S$ er stasjonær. Et maksimum kan den virkelige banen aldri være, for en krøllete bane mellom de samme punktene kan gjøre den kinetiske energien, og dermed $S$, så stor du vil. Minimum og sadelpunkt er begge mulige.

Koordinatfrihet og føringer

Utledningen brukte aldri at $q$ er en kartesisk koordinat. Hamiltons prinsipp handler om banen, og verdien av $S$ er den samme uansett hvilke koordinater banen beskrives med, så Lagranges ligninger har samme form i ethvert koordinatsystem. Newtons ligninger gjelder bare i inertialsystemer. Med formalismen kan du velge koordinatene som passer problemet, en vinkel like gjerne som en lengde.

Koordinatfriheten gjør også føringene enkle.

For pendelen er $x = l\sin\theta$ og $y = -l\cos\theta$, så

og ligningen for $\theta$ gir $ml^2\ddot\theta = -mgl\sin\theta$, altså $\ddot\theta = -(g/l)\sin\theta$. Samme svar som med Newton, uten at snordraget er nevnt. Variasjonene løper bare over baner som oppfyller føringen, og føringskraften står vinkelrett på alle slike forskyvninger, så den gjør ikke arbeid og bidrar ikke til $L$. Trenger du snordraget, er det Newton-regningen som gir det.

Eksamensoppgave Stang med to masser

Ordinær eksamen, november 2023, oppgave 3 a–c

A rod with negligible mass and length $\ell$ has equal masses $m$ at its two ends. (See figure below.) One mass can slide without friction along a horizontal constraint on the $x$ axis. The other mass is restricted to move in the $xy$ plane. We consider a situation where the center of mass is all the time located on the $y$ axis, i.e., in $x = 0$. Zero potential energy is chosen in vertical position $y = 0$.

a) (7%) Show that the Lagrangian of the system is

$$L(\theta, \dot\theta) = T - V \allowbreak = \frac{m\ell^2\dot\theta^2}{4}(1 + \sin^2\theta) \allowbreak + mg\ell\cos\theta.$$

Hint: $a\sin^2 x + b\cos^2 x = b + (a - b)\sin^2 x$.

b) (7%) Find the equation of motion (i.e., the Lagrange equation).

c) (5%) If the oscillation amplitude is small, the system is a harmonic oscillator. Show this by including only linear terms in the equation of motion, and determine the oscillation frequency $\omega$.

Vis løsning Skjul løsning

a) Én frihetsgrad, $\theta$. Massesenteret skal ligge på $y$-aksen, så den øvre massen står i $x_1 = -\tfrac{\ell}{2}\sin\theta$ og den nedre i $x_2 = \tfrac{\ell}{2}\sin\theta$, $y_2 = -\ell\cos\theta$. Da er $\dot x_1^2 = \dot x_2^2 = \tfrac{\ell^2}{4}\cos^2\theta\,\dot\theta^2$ og $\dot y_2^2 = \ell^2\sin^2\theta\,\dot\theta^2$, så

$$\begin{aligned} T &= \frac{m\ell^2\dot\theta^2}{2}\left(\tfrac12\cos^2\theta + \sin^2\theta\right) \\ &= \frac{m\ell^2\dot\theta^2}{4}(1 + \sin^2\theta), \end{aligned}$$

med hintet brukt på $\cos^2\theta + 2\sin^2\theta$. Bare den nedre massen har potensiell energi, $V = -mg\ell\cos\theta$, og $L = T - V$ er uttrykket i oppgaven.

b) $\partial L/\partial\dot\theta = \tfrac{m\ell^2}{2}\dot\theta(1 + \sin^2\theta)$ og $\partial L/\partial\theta = \tfrac{m\ell^2}{2}\dot\theta^2\sin\theta\cos\theta - mg\ell\sin\theta$. Lagranges ligning gir, etter forkorting med $m\ell^2/2$,

$$\ddot\theta\,(1 + \sin^2\theta) \allowbreak + \dot\theta^2\sin\theta\cos\theta \allowbreak + \frac{2g}{\ell}\sin\theta = 0.$$

c) For små utslag er $\sin\theta \approx \theta$, $\sin^2\theta$ neglisjerbar og $\dot\theta^2\sin\theta$ av andre orden, så ligningen blir $\ddot\theta + (2g/\ell)\,\theta = 0$.

Svar

b) $\ddot\theta(1+\sin^2\theta) + \dot\theta^2\sin\theta\cos\theta + (2g/\ell)\sin\theta = 0$. c) $\omega = \sqrt{2g/\ell}$.

Lagrangefunksjonen er ikke entydig

Utledningen av Lagranges ligninger brukte bare at $S$ er stasjonær. Alt som lar den virkelige banen forbli stasjonær, gir samme bevegelse, og det gjør Lagrangefunksjonen til et friere valg enn $L = T - V$ antyder. Ganger du $L$ med en konstant $\alpha$, ganges $S$ med den samme konstanten, og en stasjonær bane er fortsatt stasjonær. Legger du til den totale tidsderiverte av en funksjon $f(q, t)$ av koordinatene og tida, endres virkningen bare med et randledd:

Endepunktene ligger fast, så randleddet er det samme tallet for alle prøvebanene. Det flytter ikke på hvilken bane som gjør $S$ stasjonær.

Du kan også sette $L'$ rett inn i Lagranges ligninger, og leddene fra $df/dt$ opphever hverandre. Skrevet ut er $df/dt = \dfrac{\partial f}{\partial q}\dot q + \dfrac{\partial f}{\partial t}$, lineært i hastigheten, så et ledd som er kvadratisk i $\dot q$ kan aldri være en total tidsderivert. Når en forskyvning av koordinatene bare endrer $L$ med et slikt ledd, endrer den ikke bevegelsen. En slik forskyvning er en symmetri av systemet.

Ladd partikkel og gaugeinvarians

Formalismen er laget for krefter med potensial, og friksjon $\vec F = -k\dot{\vec r}$ faller utenfor. Lorentzkraften avhenger også av hastigheten, og likevel har den en Lagrangefunksjon. Skriv feltene med skalarpotensialet $\phi$ og vektorpotensialet $\vec A$ som $\vec E = -\nabla\phi - \partial\vec A/\partial t$ og $\vec B = \nabla \times \vec A$, og se på

Den deriverte $\partial L/\partial\dot{\vec r} = m\dot{\vec r} + q\vec A$ får et bidrag fra feltet, og Lagranges ligninger for $\vec r$ gir Lorentzkraften:

Potensialene er ikke entydige. Med en vilkårlig funksjon $\chi(\vec r, t)$ kan de byttes ut:

Feltene, og dermed kraften, er de samme. Lagrangefunksjonen er det ikke:

Tillegget er den totale tidsderiverte av $q\chi(\vec r, t)$, og slike ledd endrer ikke bevegelsesligningene. Friheten til å velge potensialer svarer til friheten til å velge Lagrangefunksjon. Begge endrer $L$ med en total tidsderivert og lar bevegelsen være. At ingen målbar størrelse avhenger av valget av $\chi$, kalles gaugeinvarians. Elektromagnetismen er den enkleste gaugeteorien, og den svake og den sterke vekselvirkningen i standardmodellen er bygget på det samme kravet.