Formelsamling

01 Inertialsystemer

$\displaystyle \vec F = \dot{\vec p} = m\ddot{\vec r}$ Newtons andre lov for konstant masse. Akselerasjonen på høyresiden måles i ett bestemt system, og loven sier ingenting før du har sagt hvilket.
$\displaystyle t' = At + Bx, \qquad x' = A\,(x - vt)$ Den mest generelle lineære transformasjonen mellom to inertialsystemer med parallelle akser og felles origo ved $t = 0$ . Samme krav binder konstantene med $A^2 + ABv = 1$ , så bare én av dem er fri.
$\displaystyle t' = t, \qquad \vec r\,' = \vec r - \vec v t$ Galilei-transformasjonen, altså valget $A = 1$ og $B = 0$ . Den følger av at tida regnes som absolutt.
$\displaystyle \vec u\,' = \vec u - \vec v, \qquad \vec a\,' = \vec a$ Hastigheter forskyves med $\vec v$ , mens akselerasjonen er den samme i begge systemer. Derfor har $m\vec a = \vec F$ samme form i alle inertialsystemer.

02 Krefter og potensial

$\displaystyle W = \int_C \vec F \cdot d\vec r$ Arbeidet kraften gjør langs banen $C$ . For en vilkårlig kraft avhenger tallet av hele banen.
$\displaystyle \nabla \times \vec F = 0$ Testen for om en kraft er konservativ. På et enkeltsammenhengende område er betingelsen både nødvendig og tilstrekkelig.
$\displaystyle \vec F = -\nabla V$ Kraften som gradienten av et potensial. Arbeidet blir $V(a) - V(b)$ og avhenger bare av endepunktene.

03 Bevegelse i et potensial

$\displaystyle E = \tfrac12 m\dot x^2 + V(x)$ Bevart energi i én dimensjon. Det kinetiske leddet kan ikke være negativt, så partikkelen holder seg der $V(x) \le E$ .
$\displaystyle V'(x_0) = 0, \qquad \omega = \sqrt{V''(x_0)/m}$ Likevekt der $V'$ har et nullpunkt. $V''(x_0) > 0$ gir et minimum og en stabil likevekt med små svingninger av vinkelfrekvens $\omega$ , mens $V''(x_0) < 0$ gir en ustabil topp.

04 Greens funksjon

$\displaystyle x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} dt'\, G_R(t - t')\, J(t')$ Responsen på en vilkårlig kraft $J(t)$ , satt sammen som en superposisjon av responser på deltadytt. Krever at bevegelsesligningen er lineær.
$\displaystyle D(t)\, G_R(t - t') = \delta(t - t')$ Greens funksjonen inverterer differensialoperatoren $D(t)$ i bevegelsesligningen $D(t)\,x(t) = J(t)$ .
$\displaystyle G_R(\tau) = \frac{1}{m}\, \frac{\sin(\omega\tau)}{\omega}\, \theta(\tau)$ Retardert Greens funksjon for den harmoniske oscillatoren. Trinnfunksjonen $\theta$ gjør at responsen kommer etter dyttet.

05 Partikkelsystemer

$\displaystyle \vec R = \frac{1}{M} \sum_i m_i \vec r_i, \qquad \vec P = M \dot{\vec R}$ Massesenteret og den totale impulsen til et partikkelsystem, med $M = \sum_i m_i$ .
$\displaystyle \dot{\vec P} = \sum_i \vec F_i^{(e)}$ De indre kreftene opphever hverandre parvis, så bare de ytre kreftene flytter massesenteret. Er summen null, er den totale impulsen bevart.
$\displaystyle \frac{d\vec L}{dt} = \vec N^{(e)}$ For sentrale indre krefter endres den totale dreieimpulsen bare av det ytre dreiemomentet $\vec N^{(e)} = \sum_i \vec r_i \times \vec F_i^{(e)}$ .
$\displaystyle T = \tfrac12 M \dot{\vec R}^2 + \tfrac12 \sum_i m_i \dot{\vec y}_i^{\,2}$ Kinetisk energi delt i massesenterets bevegelse og bevegelsen rundt massesenteret, med $\vec y_i = \vec r_i - \vec R$ .
$\displaystyle \mu \ddot{\vec r} = \vec F_{12}, \qquad \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ Tolegemeproblemet uten ytre krefter, redusert til ett legeme med redusert masse $\mu$ for relativkoordinaten $\vec r = \vec r_1 - \vec r_2$ .

06 Støt

$\displaystyle \vec I = \int \vec F\, dt = \Delta\vec p$ Kraftstøtet er tidsintegralet av kraften over støtet og er lik endringen i impuls.
$\displaystyle \vec v_1 \cdot \vec v_2 = 0$ Elastisk støt mellom like masser der den ene starter i ro: enten stopper den første, eller de to går ut vinkelrett på hverandre.

07 Lagrangeformalismen

$\displaystyle n = 3N - k$ Antall frihetsgrader for $N$ partikler med $k$ holonome føringer. De beskrives av generaliserte koordinater $q_1, \dots, q_n$ .
$\displaystyle L = \tfrac12 ml^2\left(\dot\theta^2 + \dot\phi^2\sin^2\theta\right) + mgl\cos\theta$ Den sfæriske pendelen med $\theta$ fra loddlinja og $\phi$ rundt den. $L$ avhenger ikke av $\phi$ , så $ml^2\dot\phi\sin^2\theta$ , dreieimpulsen om loddlinja, er konstant.
$\displaystyle L = T - V$ Lagrangefunksjonen, kinetisk energi minus potensiell energi. Minustegnet skiller den fra den totale energien.
$\displaystyle S[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot q, t)\, dt$ Virkningen gir hver bane mellom faste endepunkter ved faste tider ett tall. Den virkelige banen gjør $S$ stasjonær, $\delta S = 0$ .
$\displaystyle \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$ Lagranges ligninger, én for hver generalisert koordinat. De følger av $\delta S = 0$ og har samme form i alle koordinatsystemer.
$\displaystyle L' = \alpha L, \qquad L' = L + \frac{df(q, t)}{dt}$ Lagrangefunksjoner som gir samme bevegelsesligninger som $L$ . Virkningen endres med en faktor eller med randleddet $f(q_2, t_2) - f(q_1, t_1)$ , som er likt for alle baner med faste endepunkter.
$\displaystyle L = \tfrac12 m\dot{\vec r}^2 + q\,\dot{\vec r} \cdot \vec A - q\phi$ Ladd partikkel i et elektromagnetisk felt, med $\vec E = -\nabla\phi - \partial\vec A/\partial t$ og $\vec B = \nabla \times \vec A$ . Lagranges ligninger gir Lorentzkraften $m\ddot{\vec r} = q(\vec E + \dot{\vec r} \times \vec B)$ .
$\displaystyle \vec A \to \vec A + \nabla\chi, \qquad \phi \to \phi - \frac{\partial\chi}{\partial t}$ Gaugetransformasjon av potensialene med en vilkårlig funksjon $\chi(\vec r, t)$ . $\vec E$ og $\vec B$ er uendret, og $L$ endres med $q\,d\chi/dt$ , en total tidsderivert, så bevegelsen er den samme.
$\displaystyle \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} = \sum_\alpha \lambda_\alpha \frac{\partial f_\alpha}{\partial q_k}$ Lagranges ligninger med multiplikatorer for føringene $f_\alpha(q, t) = 0$ , fra $L' = L + \sum_\alpha \lambda_\alpha f_\alpha$ . Høyresida er føringskraften i retning $q_k$ ; for pendelen med $f = r - l$ er $\lambda = -S$ , snorkraften med motsatt fortegn.

08 Roterende referansesystemer

$\displaystyle \left(\frac{d\vec A}{dt}\right)_{K} = \left(\frac{d\vec A}{dt}\right)_{K'} + \vec\omega \times \vec A$ Den tidsderiverte av en vilkårlig vektor i inertialsystemet $K$ og i systemet $K'$ som roterer med vinkelhastigheten $\vec\omega$ . Enhetsvektorene i $K'$ følger rotasjonen, $\dot{\hat e}_i' = \vec\omega \times \hat e_i'$ .
$\displaystyle \vec v = \vec v\,' + \vec\omega \times \vec r$ Hastigheten i $K$ er hastigheten målt i det roterende systemet pluss farten $\vec\omega \times \vec r$ til det medroterende punktet.
$\displaystyle \vec a = \vec a\,' + 2\,\vec\omega \times \vec v\,' + \dot{\vec\omega} \times \vec r + \vec\omega \times (\vec\omega \times \vec r)$ Akselerasjonen i $K$ uttrykt ved størrelser målt i $K'$ . Det siste leddet er $-\omega^2\vec d$ med $\vec d$ vinkelrett fra aksen, altså sentripetalakselerasjonen for et medroterende punkt.
$\displaystyle m\vec a\,' = \vec F - 2m\,\vec\omega \times \vec v\,' - m\,\vec\omega \times (\vec\omega \times \vec r) - m\,\dot{\vec\omega} \times \vec r$ Newtons andre lov i et roterende system. De tre ekstra leddene er Corioliskraften, sentrifugalkraften og Eulerkraften; de er proporsjonale med $m$ og har ingen motkraft.
$\displaystyle \vec F_\text{s} = m\omega^2\vec d = -\nabla V_\text{s}, \qquad V_\text{s} = -\tfrac12 m\,|\vec\omega \times \vec r|^2$ Sentrifugalkraften peker ut fra aksen med størrelsen $m\omega^2 d$ og er konservativ med potensialet $-\tfrac12 m\omega^2 d^2$ . Vannflaten i ei roterende bøtte er paraboloiden $z = z_0 + \omega^2 r^2/2g$ .
$\displaystyle \vec g_\text{eff} = \vec g - \vec\omega \times (\vec\omega \times \vec R), \qquad \tan\alpha \approx \frac{\omega^2 R\sin\phi\cos\phi}{g}$ Den effektive tyngdeakselerasjonen på breddegraden $\phi$ , og vinkelen loddlinja avviker fra retningen mot sentrum. $\omega^2 R = 3{,}4$ cm/s² for jorda, og $\alpha$ er størst ved $45°$ , omtrent $0{,}1°$ .
$\displaystyle \vec F_\text{C} = -2m\,\vec\omega \times \vec v\,', \qquad F_\text{C,\,horisontal} = 2m\omega v\sin\phi$ Corioliskraften står vinkelrett på $\vec v\,'$ og gjør ikke arbeid. For bevegelse langs bakken på breddegraden $\phi$ peker den horisontale komponenten mot høyre for fartsretningen på den nordlige halvkula.
$\displaystyle d = \tfrac13\, g\omega\cos\phi\, t^3, \qquad t = \sqrt{2h/g}$ Avbøyningen mot øst for et legeme som faller fra ro fra høyden $h$ , til første orden i $\omega$ . Fra $\ddot{\vec r} = \vec g - 2\vec\omega \times \vec g\,t$ integrert to ganger.
$\displaystyle \Omega_\text{F} = \omega\sin\phi, \qquad T_\text{F} = \frac{24\ \text{h}}{\sin\phi}$ Foucaults pendel: svingeplanet dreier med klokka på den nordlige halvkula med vinkelfarten $\omega\sin\phi$ . Løsningen er $x + iy = e^{-i\omega\sin\phi\,t}(A\cos\omega_0 t + B\sin\omega_0 t)$ .
$\displaystyle \vec\omega_\text{L} = -\frac{q\vec B}{2m}$ Larmor-presesjonen. I systemet som roterer med $\vec\omega_\text{L}$ opphever Corioliskraften magnetkraften $q\vec v\,' \times \vec B$ , og banen i et svakt felt er den upåvirkede banen som dreier om feltretningen.

09 Symmetrier og bevarte størrelser

$\displaystyle p_i = \frac{\partial L}{\partial\dot q_i}, \qquad \dot p_i = \frac{\partial L}{\partial q_i}$ Den generaliserte impulsen til $q_i$ , og Lagranges ligning skrevet med den. Mangler $q_i$ i $L$ , er koordinaten syklisk og $p_i$ bevart. For den ladde partikkelen er $\vec p = m\dot{\vec r} + q\vec A$ .
$\displaystyle \begin{aligned} H &= \sum_i \dot q_i\,\frac{\partial L}{\partial\dot q_i} - L \\ \frac{dH}{dt} &= -\frac{\partial L}{\partial t} \end{aligned}$ Energifunksjonen. Bevart når $L$ ikke avhenger eksplisitt av tida, og lik $T + V$ når føringene er tidsuavhengige og $V$ ikke avhenger av hastighetene.
$\displaystyle \begin{aligned} &L = \tfrac12 m\left(\vec v\,' + \vec\omega \times \vec r\right)^2 - V \\ &H = \tfrac12 mv'^2 + V - \tfrac12 m\,|\vec\omega \times \vec r|^2 \end{aligned}$ Lagrangefunksjonen i et system som roterer med konstant $\vec\omega$ , med $\vec v\,'$ målt i det roterende systemet. Lagranges ligninger gir Corioliskraften og sentrifugalkraften, $\vec p = m\vec v$ er impulsen i inertialsystemet, og energifunksjonen inneholder sentrifugalpotensialet.
$\displaystyle \begin{aligned} &q_i \to q_i + \epsilon F_i, \qquad \delta L = \epsilon\,\frac{dF}{dt} \\ &Q = \sum_i p_i F_i - F = \text{konst} \end{aligned}$ Noethers teorem. Forskyvning av alle partikler langs $\hat n$ gir $\vec P \cdot \hat n$ , rotasjon om $\hat n$ gir $\vec L \cdot \hat n$ , og en syklisk koordinat $q_j$ er tilfellet $F_i = \delta_{ij}$ , $F = 0$ .

10 Tolegemeproblemet

$\displaystyle \begin{aligned} L &= \tfrac12\mu\left(\dot r^2 + r^2\dot\phi^2\right) - V(r) \\ J &= p_\phi = \mu r^2\dot\phi \end{aligned}$ Relativbevegelsen i tolegemeproblemet, i planet vinkelrett på dreieimpulsen, med redusert masse $\mu = m_1 m_2/(m_1 + m_2)$ . $\phi$ er syklisk, og $J$ er dreieimpulsen. Arealfarten $\tfrac12 r^2\dot\phi = J/2\mu$ er konstant, som er Keplers andre lov.
$\displaystyle \begin{aligned} E &= \tfrac12\mu\dot r^2 + V_\text{eff}(r) \\ V_\text{eff}(r) &= V(r) + \frac{J^2}{2\mu r^2} \end{aligned}$ Den bevarte dreieimpulsen gjør radialbevegelsen til et endimensjonalt problem i et effektivt potensial. Sirkelbanen ligger der $V_\text{eff}' = 0$ ; for $V = -k/r$ er radien $r_0 = J^2/\mu k$ og energien $-\mu k^2/2J^2$ .
$\displaystyle \begin{aligned} \omega_r^2 &= \frac{V_\text{eff}''(r_0)}{\mu} \\ &= \frac{1}{\mu}\left(V''(r_0) + \frac{3}{r_0}V'(r_0)\right) \end{aligned}$ Små radielle svingninger om sirkelbanen med radius $r_0$ . Banen er stabil når $\omega_r^2 > 0$ ; for $V = -k/r^n$ krever det $n < 2$ . I $V = -k/r$ er $\omega_r$ lik vinkelfarten i banen, så den forstyrrede banen er lukket.
$\displaystyle \frac{d^2u}{d\phi^2} + u = -\frac{\mu}{J^2u^2}\,F\!\left(\frac1u\right)$ Baneligningen for $u = 1/r$ , med kraften $F = -V'(r)$ . Den gir banens form $r(\phi)$ uten å gå veien om tida.
$\displaystyle \begin{aligned} r &= \frac{r_0}{1 + e\cos\phi}, \qquad r_0 = \frac{J^2}{\mu k} \\ e &= \sqrt{1 + \frac{2EJ^2}{\mu k^2}} \end{aligned}$ Banen i $V = -k/r$ , et kjeglesnitt med brennpunkt i kraftsentrum og $\phi = 0$ i perihel. $e = 0$ er sirkelen, $e < 1$ en ellipse ( $E < 0$ ), $e = 1$ en parabel ( $E = 0$ ) og $e > 1$ en hyperbel ( $E > 0$ ).
$\displaystyle \begin{aligned} a &= \frac{k}{2|E|} \\ b &= \frac{J}{\sqrt{2\mu|E|}} \\ r_\text{min}, r_\text{max} &= a(1 \mp e) \end{aligned}$ Halvaksene og apsidene i Keplerellipsen. $a$ avhenger bare av energien, $b$ også av dreieimpulsen, og avstanden fra sentrum til brennpunktet er $ea$ .
$\displaystyle \begin{aligned} T^2 &= \frac{4\pi^2\mu}{k}\,a^3 \\ &= \frac{4\pi^2}{G(m_1 + m_2)}\,a^3 \end{aligned}$ Keplers tredje lov, av arealfarten $J/2\mu$ og ellipsens areal $\pi ab$ . Med $k = Gm_1m_2$ faller massene ut i $\mu/k = 1/G(m_1 + m_2)$ .
$\displaystyle \begin{aligned} \vec A &= \vec p \times \vec L - \mu k\,\hat r \\ |\vec A| &= \mu k e \end{aligned}$ Runge–Lenz-vektoren, bevart bare for $V = -k/r$ . Den ligger i baneplanet og peker mot perihel, og at den er bevart, er grunnen til at Keplerbanen er lukket.
$\displaystyle \begin{aligned} \frac{d\sigma}{d\Omega} &= \frac{s}{\sin\Theta}\left|\frac{ds}{d\Theta}\right| \\ J &= s\sqrt{2\mu E} \end{aligned}$ Det differensielle spredningstverrsnittet for et sentralpotensial, med støtparameteren $s$ og spredningsvinkelen $\Theta$ . Partiklene som kommer inn gjennom ringen $2\pi s\,ds$ går ut i romvinkelen $2\pi\sin\Theta\,d\Theta$ .
$\displaystyle \begin{aligned} s &= \frac{|k|}{2E}\cot\frac{\Theta}{2} \\ \frac{d\sigma}{d\Omega} &= \left(\frac{k}{4E}\right)^2\frac{1}{\sin^4(\Theta/2)} \end{aligned}$ Rutherfords spredningsformel for $V = -k/r$ med $k = -qQ/4\pi\epsilon_0$ . Tverrsnittet vokser uten grense når $\Theta \to 0$ , fordi Coulombkraften har uendelig rekkevidde.
$\displaystyle \begin{aligned} 2\langle T\rangle &= -\Big\langle\sum_i \vec F_i \cdot \vec r_i\Big\rangle \\ &= n\,\langle V\rangle \end{aligned}$ Virialteoremet for et system som holder seg endelig; tidsmidler. Den siste likheten gjelder for et potensial som er homogent av grad $n$ , som $V \propto r^n$ . Keplerbaner har $n = -1$ og $E = -\langle T\rangle$ , oscillatoren $n = 2$ og $\langle T\rangle = \langle V\rangle$ .

11 Trelegemeproblemet

$\displaystyle L = \tfrac12 m\left(\dot x^2 + \dot y^2\right) \allowbreak + m\omega\left(x\dot y - y\dot x\right) \allowbreak - m\,U(x, y)$ Det lette legemet i det begrensede trelegemeproblemet, i systemet $K'$ som roterer med $\omega^2 = G(m_1 + m_2)/d^3$ om massesenteret. $m_1$ og $m_2$ står i ro på $x$ -aksen, og leddet som er lineært i farten, gir Corioliskraften.
$\displaystyle U = -\frac{Gm_1}{r_1} - \frac{Gm_2}{r_2} \allowbreak - \tfrac12\omega^2\left(x^2 + y^2\right)$ Potensialet per masse i det roterende systemet, tyngden fra $m_1$ og $m_2$ pluss sentrifugalpotensialet. $r_1$ og $r_2$ er avstandene til de to massene, og Lagrangepunktene er de stasjonære punktene til $U$ .
$\displaystyle C = \tfrac12\left(\dot x^2 + \dot y^2\right) + U(x, y)$ Jacobis konstant, energifunksjonen per masse i det roterende systemet. Den er bevart, og legemet kan bare være der $U \le C$ .
$\displaystyle r_1 = r_2 = d \allowbreak\qquad h \approx d\left(\frac{m_2}{3m_1}\right)^{1/3}$ $L_4$ og $L_5$ danner likesidede trekanter med $m_1$ og $m_2$ . $L_1$ og $L_2$ ligger i avstanden $h$ på hver side av $m_2$ når $m_2 \ll m_1$ , og $L_3$ ligger på motsatt side av $m_1$ .
$\displaystyle 27\,m_1 m_2 < (m_1 + m_2)^2$ Betingelsen for at $L_4$ og $L_5$ er stabile, $m_1/m_2 > 24{,}96$ . $L_1$ , $L_2$ og $L_3$ er ustabile for alle masseforhold.

12 Små svingninger

$\displaystyle L \approx \tfrac12 m(q_0)\,\dot\eta^2 - \tfrac12 V''(q_0)\,\eta^2 \allowbreak\qquad \omega^2 = \frac{V''(q_0)}{m(q_0)}$ Små svingninger om en likevekt $q_0$ med én frihetsgrad, for $L = \tfrac12 m(q)\dot q^2 - V(q)$ og $q = q_0 + \eta$ . Likevekten er stabil når $V''(q_0) > 0$ .
$\displaystyle L \approx \tfrac12 T_{ij}\,\dot\eta_i\dot\eta_j - \tfrac12 V_{ij}\,\eta_i\eta_j \allowbreak\qquad T_{ij} = m_{ij}(q_0) \allowbreak\qquad V_{ij} = \frac{\partial^2 V}{\partial q_i\,\partial q_j}\bigg|_{q_0}$ Lagrangefunksjonen til andre orden i utslagene $\eta_i = q_i - q_{0i}$ fra en likevekt, med $T = \tfrac12 m_{ij}(q)\dot q_i\dot q_j$ . Begge matrisene er symmetriske, og $\boldsymbol T$ er positivt definitt.
$\displaystyle \det\left(\boldsymbol V - \omega^2\boldsymbol T\right) = 0 \allowbreak\qquad \left(\boldsymbol V - \omega_n^2\boldsymbol T\right)\mathbf A_n = 0$ Sekulærligningen for egenfrekvensene $\omega_n$ , og ligningen for normalmoden $\mathbf A_n$ . $\omega_n^2 < 0$ gir ustabil likevekt, $\omega_n^2 = 0$ en fri translasjon eller rotasjon.
$\displaystyle \boldsymbol\eta = \sum_n \xi_n\,\mathbf A_n \allowbreak\qquad L = \tfrac12\sum_n\left(\dot\xi_n^2 - \omega_n^2\,\xi_n^2\right) \allowbreak\qquad \mathbf A_m^\top\boldsymbol T\mathbf A_n = \delta_{mn}$ Normalkoordinatene $\xi_n$ er uavhengige harmoniske oscillatorer når modene er normert med $\boldsymbol T$ som vekt. Startverdiene er $\xi_n(0) = \mathbf A_n^\top\boldsymbol T\boldsymbol\eta(0)$ .
$\displaystyle \omega = 2\sqrt{\frac{k}{m}}\,\left|\sin\frac{\varphi}{2}\right| \allowbreak\qquad v = a\sqrt{\frac{k}{m}}$ Normalmodene til en kjede av like atomer med masse $m$ , avstand $a$ og fjærkonstant $k$ . $\varphi$ er faseforskjellen mellom naboatomer, og $v$ er lydfarten for lange bølger.
$\displaystyle \omega \approx \omega_0 + \frac{3\varepsilon A^2}{8\omega_0}$ Frekvensen til $\ddot x + \omega_0^2 x + \varepsilon x^3 = 0$ med amplitude $A$ , til første orden i $\varepsilon$ . For pendelen er $\varepsilon = -\omega_0^2/6$ og $\omega = \omega_0(1 - \theta_0^2/16)$ .

13 Kjente systemer

$\displaystyle L = \tfrac12 ml^2\dot\theta^2 + mgl\cos\theta, \qquad \ddot\theta = -\frac{g}{l}\sin\theta$ Den plane pendelen med $\theta$ fra loddlinja. Energien $E = \tfrac12 ml^2\dot\theta^2 - mgl\cos\theta$ er bevart; $E < mgl$ gir svingning mellom to vendepunkter, $E > mgl$ rotasjon.
$\displaystyle L = \tfrac12 (M + m)\dot x^2 + ml\dot x\dot\theta\cos\theta + \tfrac12 ml^2\dot\theta^2 + mgl\cos\theta$ Pendel med masse $m$ under ei fri vogn med masse $M$ på en vannrett skinne. $x$ er syklisk, så den totale vannrette impulsen $p_x = (M + m)\dot x + ml\dot\theta\cos\theta$ er bevart, i tillegg til energien.
$\displaystyle L = \tfrac12 m\left(\dot x^2 + \dot y^2\right) + \tfrac12 qB\left(x\dot y - y\dot x\right)$ Ladd partikkel i planet vinkelrett på $\vec B = B\hat z$ , med $\vec A = \tfrac12 B(-y, x, 0)$ . Forskyvning i $x$ og $y$ endrer $L$ med en total tidsderivert og gir de bevarte størrelsene $m\dot x - qBy$ og $m\dot y + qBx$ , som fastlegger sentrum i sirkelbanen. Energien er $\tfrac12 mv^2$ .
$\displaystyle L = \tfrac12 ma^2\left(\dot\theta^2 + \omega^2\sin^2\theta\right) + mga\cos\theta$ Perle på en ring med radius $a$ som roterer med fast $\omega$ om den loddrette diameteren, $\theta$ fra bunnpunktet. Energifunksjonen $H = \tfrac12 ma^2\dot\theta^2 - \tfrac12 ma^2\omega^2\sin^2\theta - mga\cos\theta$ er bevart, energien $T + V$ er det ikke. Bunnpunktet er stabilt for $\omega^2 < g/a$ .
$\displaystyle \begin{aligned} L &= \tfrac12 (m_1 + m_2)\,l_1^2\dot\theta_1^2 + \tfrac12 m_2 l_2^2\dot\theta_2^2 + m_2 l_1 l_2\dot\theta_1\dot\theta_2\cos(\theta_1 - \theta_2) \\ &\quad + (m_1 + m_2)\,g l_1\cos\theta_1 + m_2 g l_2\cos\theta_2 \end{aligned}$ Dobbeltpendelen med begge vinklene fra loddlinja. Bare energien er bevart. For små utslag med $m_1 = m_2$ og $l_1 = l_2 = l$ er normalfrekvensene gitt ved $\omega^2 = (2 \pm \sqrt 2)\,g/l$ .
$\displaystyle \begin{aligned} L &= \tfrac12 ml^2\dot\theta^2 + ml(g + \ddot y_\text{p})\cos\theta \\ V_\text{eff}(\Theta) &= -mgl\cos\Theta + \tfrac14 mA^2\Omega^2\sin^2\Theta \end{aligned}$ Pendel med oppheng som svinger loddrett, $y_\text{p} = A\cos\Omega t$ . $L$ avhenger eksplisitt av tida, og ingenting er bevart. Midlet over den raske svingningen beveger den langsomme vinkelen $\Theta$ seg i $V_\text{eff}$ , som har et minimum i toppunktet når $A^2\Omega^2 > 2gl$ .