Begreper

01 Inertialsystemer

Inertialsystem #: Referansesystem der en fri partikkel går med konstant hastighet. Newtons andre lov er formulert i slike systemer.
Galilei-transformasjon #: Transformasjonen $t' = t$ , $\vec r\,' = \vec r - \vec v t$ mellom koordinatene i to inertialsystemer når tida regnes som absolutt.

02 Krefter og potensial

Konservativ kraft #: Kraftfelt der arbeidet mellom to punkter er det samme for alle baner. Et slikt felt kan skrives som $\vec F = -\nabla V$ .
Eksakt differensial #: En differensialform $F_x\,dx + F_y\,dy + F_z\,dz$ som er differensialet til en funksjon. Linjeintegralet av en eksakt form avhenger bare av endepunktene.
Potensial #: Funksjonen $V(\vec r)$ som en konservativ kraft er den negative gradienten av, $\vec F = -\nabla V$ .
Enkeltsammenhengende område #: Område der enhver lukket kurve kan trekkes sammen til et punkt uten å forlate området. Der er $\nabla \times \vec F = 0$ nok til at kraften er konservativ.

03 Bevegelse i et potensial

Likevektspunkt #: Punkt $x_0$ der $V'(x_0) = 0$ , slik at kraften på partikkelen er null. Likevekten er stabil når $V''(x_0) > 0$ og ustabil når $V''(x_0) < 0$ .
Vendepunkt #: Punkt der partikkelen har null fart fordi $V(x) = E$ . Vendepunktene avgrenser området den kan bevege seg i.

04 Greens funksjon

Superposisjonsprinsippet #: For en lineær ligning er summen av to løsninger en ny løsning, så responsen på en sum av krefter er summen av responsene.
Greens funksjon #: Responsen på et deltadytt: løsningen av $D(t)\,G(t - t') = \delta(t - t')$ . Den inverterer differensialoperatoren, og superposisjon gir responsen på en vilkårlig kraft.
Retardert Greens funksjon #: Greens funksjonen som er null for $\tau < 0$ , slik at responsen kommer etter dyttet. Valget svarer til å skyve polene under den reelle aksen.

05 Partikkelsystemer

Massesenter #: Punktet $\vec R = \frac{1}{M}\sum_i m_i \vec r_i$ . Det beveger seg som én partikkel med hele massen $M$ , påvirket av summen av de ytre kreftene.
Sentrale krefter #: Indre krefter som virker langs forbindelseslinja mellom partiklene. Kalles også den sterke loven om aksjon og reaksjon; den gjør at dreieimpulsen bare endres av ytre dreiemoment.
Redusert masse #: Massen $\mu = m_1 m_2/(m_1 + m_2)$ som relativbevegelsen i tolegemeproblemet følger, $\mu\ddot{\vec r} = \vec F_{12}$ .

06 Støt

Elastisk støt #: Støt der både impulsen og den kinetiske energien er bevart. Det er utfallet når kraften mellom partiklene er konservativ.
Kraftstøt #: Tidsintegralet av kraften over støtet, $\vec I = \int \vec F\,dt$ . Det er lik endringen i impuls.

07 Lagrangeformalismen

Holonom føring #: Betingelse på koordinatene på formen $f(\vec r_1, \dots, \vec r_N, t) = 0$ , som snorlengden til en pendel. Hver slik føring fjerner én frihetsgrad. Tidsavhengige føringer kalles rheonome, tidsuavhengige skleronome.
Ikke-holonom føring #: Føring som ikke kan skrives som $f(\vec r_1, \dots, \vec r_N, t) = 0$ : en ulikhet, som en partikkel oppå en fast kule, eller en betingelse på hastighetene som ikke kan integreres, som rulling uten å gli. Den fjerner ingen koordinat.
Frihetsgrader #: Antall uavhengige størrelser som trengs for å angi systemets konfigurasjon. $N$ partikler med $k$ holonome føringer har $3N - k$ .
Generaliserte koordinater #: Uavhengige koordinater $q_1, \dots, q_n$ som fastlegger konfigurasjonen med føringene bygget inn, som vinkelen $\theta$ for pendelen.
Konfigurasjonsrom #: Rommet med de generaliserte koordinatene som akser. Hele systemets bevegelse er én kurve der.
Føringskraft #: Kraften som holder en føring oppfylt, som snordrag og normalkrefter. Den står vinkelrett på forskyvningene føringen tillater og forsvinner når føringene settes inn i Lagrangefunksjonen. En Lagrange-multiplikator henter den tilbake.
Lagrangefunksjon #: Funksjonen $L = T - V$ av koordinater og hastigheter. Den bestemmer dynamikken gjennom Lagranges ligninger.
Virkning #: Tallet $S = \int L\, dt$ tilordnet en bane mellom faste endepunkter ved faste tider. Den virkelige banen gjør virkningen stasjonær.
Gaugetransformasjon #: Byttet $\vec A \to \vec A + \nabla\chi$ , $\phi \to \phi - \partial\chi/\partial t$ med en vilkårlig funksjon $\chi(\vec r, t)$ . Feltene $\vec E$ og $\vec B$ er uendret, og Lagrangefunksjonen endres med den totale tidsderiverte $q\,d\chi/dt$ .
Gaugeinvarians #: At ingen målbar størrelse avhenger av hvilke potensialer $\phi$ og $\vec A$ som beskriver feltene. Bevegelsen til en ladd partikkel er gaugeinvariant fordi en gaugetransformasjon bare legger en total tidsderivert til $L$ .
Lagrange-multiplikator #: Ukjent funksjon $\lambda(t)$ som ganges med føringen $f(q, t)$ og legges til $L$ . Ligningen for $\lambda$ gir føringen tilbake, og $\lambda\,\partial f/\partial q_k$ er føringskraften i retning $q_k$ . Der ei snor eller et underlag har $\lambda = 0$ , slipper føringen.

08 Roterende referansesystemer

Vinkelhastighet #: Vektoren $\vec\omega$ som beskriver en rotasjon: retningen ligger langs aksen etter høyrehåndsregelen, og lengden er vinkelfarten. Et punkt som følger rotasjonen har hastigheten $\vec\omega \times \vec r$ .
Fiktiv kraft #: Et av leddene som må regnes som kraft for at $m\vec a\,' = \text{kraft}$ skal gjelde i et system som ikke er inertialt. Fiktive krefter skyldes ikke noe annet legeme, har ingen motkraft og er proporsjonale med massen.
Sentrifugalkraft #: Den fiktive kraften $-m\vec\omega \times (\vec\omega \times \vec r) = m\omega^2\vec d$ i et roterende system. Den peker ut fra aksen, virker også på det som ligger i ro, og er konservativ med potensialet $-\tfrac12 m\omega^2 d^2$ .
Corioliskraft #: Den fiktive kraften $-2m\vec\omega \times \vec v\,'$ på et legeme som beveger seg i et roterende system. Den står vinkelrett på hastigheten, gjør ikke arbeid og dytter mot høyre på den nordlige halvkula.
Eulerkraft #: Den fiktive kraften $-m\dot{\vec\omega} \times \vec r$ som kommer når vinkelfarten til systemet endrer seg. For jorda er den null.
Effektiv tyngdeakselerasjon #: $\vec g_\text{eff} = \vec g - \vec\omega \times (\vec\omega \times \vec R)$ , tyngden og sentrifugalkraften per masse for et legeme i ro på den roterende jorda. Loddlinja følger $\vec g_\text{eff}$ , og jordoverflaten står vinkelrett på den.

09 Symmetrier og bevarte størrelser

Generalisert impuls #: $p_i = \partial L/\partial\dot q_i$ , impulsen som hører til koordinaten $q_i$ . Kalles også kanonisk eller konjugert impuls. Lagranges ligning for $q_i$ lyder $\dot p_i = \partial L/\partial q_i$ . Den er lik den mekaniske impulsen bare når hastigheten inngår i $L$ gjennom $T$ alene.
Syklisk koordinat #: Koordinat som ikke inngår i $L$ , slik at $\partial L/\partial q_i = 0$ . Lagranges ligning for den sier at den generaliserte impulsen $p_i$ er bevart.
Energifunksjon #: $H = \sum_i \dot q_i\,\partial L/\partial\dot q_i - L$ , med $dH/dt = -\partial L/\partial t$ . Bevart når $L$ ikke avhenger eksplisitt av tida, og lik energien $T + V$ når føringene er tidsuavhengige og $V$ bare avhenger av koordinatene.
Kontinuerlig symmetri #: Transformasjon $q_i \to q_i + \epsilon F_i(q, \dot q, t)$ med en parameter $\epsilon$ som kan gjøres vilkårlig liten, og som endrer $L$ med høyst en total tidsderivert $\epsilon\,dF/dt$ for alle baner. Forskyvning, rotasjon og Galilei-skifte er eksempler; speiling er det ikke, for den har ingen parameter.
Noethers teorem #: Hver kontinuerlig symmetri av Lagrangefunksjonen gir en bevart størrelse. Forskyvningen $q_i \to q_i + \epsilon F_i$ er en symmetri når den endrer $L$ med høyst en total tidsderivert $\epsilon\,dF/dt$ , og da er $\sum_i p_i F_i - F$ bevart.
Effektivt potensial #: Potensialet som står igjen for én koordinat når de bevarte størrelsene er satt inn i energien, som $p_\phi^2/2\mu r^2 + V(r)$ for radialbevegelsen i et sentralpotensial. Vendepunkter og likevekter leses ut av det som av et vanlig potensial.

10 Tolegemeproblemet

Sentrifugalbarriere #: Leddet $J^2/2\mu r^2$ i det effektive potensialet, den kinetiske energien i vinkelbevegelsen skrevet med den bevarte dreieimpulsen. Det vokser uten grense når $r \to 0$ og holder legemet unna kraftsentrum så lenge $J \ne 0$ .
Eksentrisitet #: Tallet $e \ge 0$ i kjeglesnittet $r = r_0/(1 + e\cos\phi)$ . Det fastlegger formen på banen: $e = 0$ er en sirkel, $e < 1$ en ellipse, $e = 1$ en parabel og $e > 1$ en hyperbel. For $V = -k/r$ er $e^2 = 1 + 2EJ^2/\mu k^2$ .
Perihel #: Punktet i banen nærmest sola; det fjerneste er aphel. For en vilkårlig bane kalles de to vendepunktene i $r$ apsidene, $r_\text{min} = a(1 - e)$ og $r_\text{max} = a(1 + e)$ i en ellipse.
Støtparameter #: Avstanden $s$ fra kraftsentrum til den rette linja en innkommende partikkel følger langt ute. Sammen med energien gir den dreieimpulsen $J = s\sqrt{2\mu E}$ og bestemmer spredningsvinkelen $\Theta$ .
Spredningstverrsnitt #: Det differensielle spredningstverrsnittet $d\sigma/d\Omega$ er antall partikler spredt inn i romvinkelen $d\Omega$ per tid, delt på antall innkommende partikler per tid og areal. Det har dimensjon areal, og integralet over alle retninger er det totale tverrsnittet.
Virialteoremet #: For et system som holder seg endelig er tidsmiddelet $2\langle T\rangle = -\langle\sum_i \vec F_i \cdot \vec r_i\rangle$ . For et potensial som er homogent av grad $n$ er det $2\langle T\rangle = n\langle V\rangle$ .

11 Trelegemeproblemet

Jacobis konstant #: Den bevarte energifunksjonen per masse for det lette legemet i det begrensede trelegemeproblemet, $C = \tfrac12 v'^2 + U$ . $v'$ er farten i systemet som roterer med de to tunge legemene, og $U$ tar med sentrifugalpotensialet. Legemet kan bare være der $U \le C$ .
Lagrangepunkt #: Et av de fem likevektspunktene i det begrensede trelegemeproblemet, der et lett legeme står i ro i systemet som roterer med de to tunge legemene. $L_1$ , $L_2$ og $L_3$ ligger på linja gjennom dem og er ustabile. $L_4$ og $L_5$ danner likesidede trekanter med dem og er stabile når $m_1/m_2 > 24{,}96$ .

12 Små svingninger

Normalmode #: En bevegelse nær en stabil likevekt der alle koordinatene svinger harmonisk med den samme frekvensen og i fast forhold til hverandre, $\boldsymbol\eta = \mathbf A_n\cos(\omega_n t - \delta_n)$ . Enhver liten bevegelse er en sum av normalmoder.
Egenfrekvens #: Frekvensen $\omega_n$ til en normalmode, en rot av sekulærligningen $\det(\boldsymbol V - \omega^2\boldsymbol T) = 0$ .
Sekulærligning #: Ligningen $\det(\boldsymbol V - \omega^2\boldsymbol T) = 0$ for egenfrekvensene til små svingninger om en likevekt. Med $N$ frihetsgrader er den av grad $N$ i $\omega^2$ .
Normalkoordinat #: Utslaget $\xi_n$ langs normalmode $n$ , definert ved $\boldsymbol\eta = \sum_n \xi_n\mathbf A_n$ . I normalkoordinatene er Lagrangefunksjonen en sum av uavhengige harmoniske oscillatorer.
Dispersjonsrelasjon #: Sammenhengen mellom frekvensen og bølgelengden til en bølge. For en kjede av like atomer er den $\omega = 2\sqrt{k/m}\,|\sin(\varphi/2)|$ , med $\varphi$ faseforskjellen mellom naboatomer.