Føringskrefter, symmetrier og bevaringslover

Føringskrefter med Lagrange-multiplikatorer

Settes føringene inn i $L$, forsvinner føringskreftene fra regningen. Det er en fordel helt til du trenger dem. Snorkraften i en pendel og normalkraften på en kloss som glir på en kuleflate, er føringskrefter, og for klossen er det normalkraften som avgjør når den forlater flaten. Da må føringen holdes utenfor $L$ og tas med som en egen ligning.

Behold alle koordinatene $q_1, \dots, q_n$ og skriv føringen som $f(q, t) = 0$. Legg den til Lagrangefunksjonen ganget med en ny, ukjent funksjon $\lambda(t)$:

$\lambda$ kalles en Lagrange-multiplikator og behandles som en koordinat til. $L'$ inneholder ikke $\dot\lambda$, så Lagranges ligning for $\lambda$ er $\partial L'/\partial\lambda = f = 0$. Føringen kommer tilbake som en av bevegelsesligningene. Ligningene for $q_k$ får et ledd fra $\lambda f$ på høyresida:

Venstresida er bevegelsesligningen uten føringer, så høyresida er den generaliserte kraften som holder føringen oppfylt. Den peker langs gradienten til $f$, altså vinkelrett på flaten $f = 0$ som bevegelsen er bundet til. Det er grunnen til at føringskraften ikke gjør arbeid langs de tillatte forskyvningene, og til at den kunne sløyfes da føringene ble satt inn i $L$.

Ta pendelen, ei kule i ei snor med lengde $l$, med avstanden $r$ fra opphenget og vinkelen $\theta$ fra loddlinja som koordinater. Føringen er $f = r - l = 0$, og

Ligningen for $\lambda$ gir $r = l$. Ligningen for $r$ har $\partial f/\partial r = 1$ på høyresida:

Sett inn $r = l$ og $\ddot r = 0$, så er $\lambda = -\left(ml\dot\theta^2 + mg\cos\theta\right)$. $f$ har dimensjon lengde, så $\lambda$ har dimensjon kraft: den er kraften fra snora i retning $r$, og fortegnet sier at den peker inn mot opphenget. Snorkraften er $S = -\lambda = ml\dot\theta^2 + mg\cos\theta$, sentripetalkraften pluss komponenten av tyngden langs snora, det samme som Newton gir. Ligningen for $\theta$ har ingen $\lambda$, for $f$ er uavhengig av $\theta$, og med $r = l$ er den $ml^2\ddot\theta = -mgl\sin\theta$ som før.

Energien gir $S$ som funksjon av vinkelen alene. Har kula farten $v_0$ i bunnpunktet, er $\tfrac12 ml^2\dot\theta^2 - mgl\cos\theta = \tfrac12 mv_0^2 - mgl$, og

$S$ er størst i bunnpunktet og minker oppover. Ei snor kan bare trekke, så der $S$ blir null, blir den slakk, og kula går i en kastebane. Det skjer ved $\cos\theta = (2 - v_0^2/gl)/3$, over vannrett. Med $v_0^2 \le 2gl$ snur kula før den når vannrett, og $S$ rekker aldri null. Med $v_0^2 \ge 5gl$ er $S \ge 0$ også i toppunktet, og kula går rundt. Ei stiv stang kan dytte like godt som trekke, og med stang skifter $\lambda$ fortegn uten at noe skjer.

Fortegnet på $\lambda$ er en konvensjon. Skriver du $L - \lambda f$ i stedet, bytter $\lambda$ fortegn og ingenting annet. Føringskraften er den samme.

Eksamensoppgave Stigen som glir

Ordinær eksamen, november 2025, oppgave 1 a–d

Consider a uniform ladder of length $l$ and total mass $m$, as shown in Fig. 1.

The ladder starts to slide without friction. The initial conditions are $\theta(0) = \theta_0$ and $\dot\theta(0) = 0$.

a) Show that the Lagrangian of the systems [sic] is

$$L = \frac12 m(\dot x_{\text{cm}}^2 + \dot y_{\text{cm}}^2) \allowbreak + \frac12 I_{\text{cm}}\dot\theta^2 - mgy_{\text{cm}}, \qquad (1)$$

where $I_{\text{cm}} = \frac{1}{12}ml^2$.

b) The system is described in terms of the three coordinates $x_{\text{cm}}$, $y_{\text{cm}}$, and $\theta$. As long as the ladder is in contact with the wall, the system is constrained, with a single degree of freedom. Write down the two constraint equations and classify the constraints.

c) Use the Lagrange multiplier method and write down the Lagrangian for the constrained system. Derive the equations of motion.

d) Find the constraint forces as functions of $m$, $g$, and $\theta$. For which value of $\theta$ does the ladder lose contact with the wall?

Vis løsning Skjul løsning

a) Den kinetiske energien til et stivt legeme er massesenterets translasjonsenergi pluss rotasjonsenergien om massesenteret, $\tfrac12 mv_{\text{cm}}^2 + \tfrac12 I_{\text{cm}}\dot\theta^2$, og for en jevn stang er $I_{\text{cm}} = ml^2/12$. Den potensielle energien er $mgy_{\text{cm}}$.

b) Med veggen langs $y$-aksen og gulvet langs $x$-aksen ligger massesenteret midt på stigen: $f_1 = x_{\text{cm}} - \tfrac{l}{2}\cos\theta = 0$ og $f_2 = y_{\text{cm}} - \tfrac{l}{2}\sin\theta = 0$. Begge er holonome, og tiden inngår ikke.

c) $L' = L + \lambda_1 f_1 + \lambda_2 f_2$. Lagranges ligninger for de tre koordinatene:

$$\begin{aligned} m\ddot x_{\text{cm}} &= \lambda_1, \\ m\ddot y_{\text{cm}} &= -mg + \lambda_2, \\ I_{\text{cm}}\ddot\theta &= \tfrac{l}{2}\,\lambda_1\sin\theta - \tfrac{l}{2}\,\lambda_2\cos\theta. \end{aligned}$$

$\lambda_1$ er normalkraften fra veggen og $\lambda_2$ normalkraften fra gulvet.

d) Deriver føringene to ganger og sett inn: $\lambda_1 = -\tfrac12 ml(\cos\theta\,\dot\theta^2 + \sin\theta\,\ddot\theta)$ og $\lambda_2 = mg + \tfrac12 ml(\cos\theta\,\ddot\theta - \sin\theta\,\dot\theta^2)$. I $\theta$-ligningen faller $\dot\theta^2$ bort, og igjen står $\tfrac13 ml^2\ddot\theta = -\tfrac12 mgl\cos\theta$. Gang med $\dot\theta$ og integrer fra start: $\dot\theta^2 = \tfrac{3g}{l}(\sin\theta_0 - \sin\theta)$. Sett $\ddot\theta$ og $\dot\theta^2$ inn i uttrykkene over:

$$\begin{aligned} \lambda_1 &= \tfrac32 mg\cos\theta\left(\tfrac32\sin\theta - \sin\theta_0\right), \\ \lambda_2 &= \tfrac14 mg\big(1 + 9\sin^2\theta \\ &\qquad\quad - 6\sin\theta\sin\theta_0\big). \end{aligned}$$

Stigen mister kontakten med veggen når $\lambda_1 = 0$, altså når $\sin\theta = \tfrac23\sin\theta_0$.

Svar

Kontakten med veggen forsvinner ved $\sin\theta = \tfrac{2}{3}\sin\theta_0$.

Generalisert impuls og sykliske koordinater

Lagranges ligning for $q_i$ kan leses som en bevegelsesligning for én størrelse:

For en kartesisk koordinat er $p_x = m\dot x$, den vanlige impulsen. For pendelvinkelen er $p_\theta = ml^2\dot\theta$, dreieimpulsen om opphenget. For den ladde partikkelen er $\vec p = m\dot{\vec r} + q\vec A$, og den er ikke den mekaniske impulsen. Den generaliserte impulsen er det $L$ sier den er.

Mangler en koordinat i $L$, er $\partial L/\partial q_i = 0$, og da sier ligningen at $p_i$ er konstant. En slik koordinat kalles syklisk. Det er den raskeste veien til en bevaringslov. $\phi$ mangler i Lagrangefunksjonen til den sfæriske pendelen, så $p_\phi = ml^2\dot\phi\sin^2\theta$, dreieimpulsen om loddlinja, er bevart. Om en symmetri viser seg som en manglende koordinat, avhenger av koordinatvalget. Et sentralpotensial gjør $\phi$ syklisk i polarkoordinater og ingen koordinat syklisk i kartesiske. Velg koordinatene etter symmetrien.

Energifunksjonen

Tida kan også mangle i $L$. Størrelsen som hører til det, er

Deriver $H$ langs en bane og bruk $p_i = \partial L/\partial\dot q_i$ og $\dot p_i = \partial L/\partial q_i$:

Leddene med $\ddot q_i$ opphever hverandre fordi $p_i = \partial L/\partial\dot q_i$, og leddene med $\dot q_i$ fordi $\dot p_i = \partial L/\partial q_i$.

$H$ er energien når posisjonene $\vec r_a(q)$ ikke avhenger av tida og $V$ ikke avhenger av hastighetene. Da er $T = \tfrac12\sum_{ij} M_{ij}(q)\,\dot q_i\dot q_j$ kvadratisk i hastighetene, så $\sum_i \dot q_i\,\partial T/\partial\dot q_i = 2T$, og $H = 2T - (T - V) = T + V$. Avhenger føringene av tida, får $T$ ledd av lavere grad i $\dot q$, og $H$ og $E$ skiller lag. For perla på en ring som roterer med fast $\omega$ er $H = E - ma^2\omega^2\sin^2\theta$. $H$ er bevart, $E$ er det ikke, for motoren som holder $\omega$ fast, gjør arbeid.

Fiktive krefter fra Lagranges ligninger

De fiktive kreftene kom fra å derivere vektorer i et roterende system. De kommer også rett ut av Lagrangefunksjonen, uten noe kraftregnskap. La $K'$ rotere med konstant $\vec\omega$ om en akse gjennom origo, og bruk komponentene av $\vec r$ i $K'$ som koordinater. Hastigheten i inertialsystemet er $\vec v = \vec v\,' + \vec\omega \times \vec r$, så

Den generaliserte impulsen er $\vec p = \partial L/\partial\vec v\,' = m(\vec v\,' + \vec\omega \times \vec r) = m\vec v$, impulsen målt i $K$, ikke $m\vec v\,'$. Den deriverte med hensyn på posisjonen er

og $d\vec p/dt = m(\vec a\,' + \vec\omega \times \vec v\,')$. Lagranges ligninger gir

Corioliskraften og sentrifugalkraften, som før. Et ledd $-m\dot{\vec\omega} \times \vec r$ kommer til når $\vec\omega$ ikke er konstant.

Lagrangefunksjonen inneholder ikke tida, så energifunksjonen er bevart:

Det siste leddet er sentrifugalpotensialet. $H$ er energien sett fra det roterende systemet, med sentrifugalkraften regnet som en konservativ kraft, og den er ikke den samme størrelsen som $\tfrac12 mv^2 + V$ i $K$.

Noethers teorem

En syklisk koordinat er det enkleste tilfellet av noe mer generelt. At $\phi$ mangler i $L$, betyr at forskyvningen $\phi \to \phi + \epsilon$ lar $L$ stå uendret, og at systemet ser likt ut etter en rotasjon om loddlinja. Det er en kontinuerlig symmetri: en familie av transformasjoner med en parameter $\epsilon$ som kan gjøres så liten du vil. Noethers teorem sier at hver slik symmetri gir en bevart størrelse, også når symmetrien ikke er en manglende koordinat i de koordinatene du bruker.

Kravet $\delta L = \epsilon\,dF/dt$ må gjelde for enhver bane $q(t)$, ikke bare for den som løser bevegelsesligningene. Langs den virkelige banen er $\delta L$ alltid en total tidsderivert, som beviset viser, så der sier kravet ingenting. Symmetrien er en egenskap ved $L$, bevaringen en egenskap ved løsningene.

En syklisk koordinat $q_j$ er tilfellet $F_i = \delta_{ij}$ og $F = 0$, med $Q = p_j$. Bevaringslovene fra Newton kommer på samme måte. Se på et lukket system av partikler med $L = \sum_a \tfrac12 m_a\dot{\vec r}_a^2 - V$, der $V$ bare avhenger av avstandene $|\vec r_a - \vec r_b|$. Forskyv alle partiklene like mye, $\vec r_a \to \vec r_a + \epsilon\hat n$. Avstandene og hastighetene er uendret, så $\delta L = 0$ og $F = 0$, med $F_a = \hat n$ for hver partikkel. Den bevarte størrelsen er $Q = \sum_a \vec p_a \cdot \hat n$, den totale impulsen langs $\hat n$, og siden $\hat n$ er vilkårlig, hele $\vec P$. Roter i stedet alle partiklene en liten vinkel $\epsilon$ om aksen $\hat n$, $\vec r_a \to \vec r_a + \epsilon\,\hat n \times \vec r_a$. Lengder og avstander er uendret til første orden i $\epsilon$, og hastighetene roterer likt, så $\delta L = 0$ igjen, og

er den totale dreieimpulsen langs $\hat n$. At rommet er likt overalt, gir impulsbevaring, og at det er likt i alle retninger, gir dreieimpulsbevaring. Tidsforskyvning $t \to t + \epsilon$ passer ikke rett inn i formen $q_i \to q_i + \epsilon F_i$, men resultatet er det samme: er $L$ uavhengig av tida, er $H$ bevart.

I disse eksemplene er $\delta L = 0$. Teoremet er laget for å tåle mer, for en transformasjon kan være en symmetri selv om $L$ endres, så lenge endringen er en total tidsderivert.

Speiling $\vec r \to -\vec r$ er også en symmetri av mange systemer, men den har ingen liten parameter $\epsilon$, og gir ingen bevart størrelse i klassisk mekanikk.